【BitTiger读书会】· 第十二期《歌德尔、艾舍尔、巴赫:集异璧之大成》



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    在上一期的活动中,晨阳与我们分享了数据之巅这本书。这一期,我们将与旭冲一起读《歌德尔,艾舍尔、巴赫:集异璧之大成》,领略数学,画,音乐三者之间奇妙的联系。

    【读书时间】

    美西时间6月24日 6pm
    美东时间6月24日 9pm
    北京时间6月25日 9am

    【领读形式】
    中文,微信群文字直播

    【领读书籍】
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    【书籍介绍】
    书籍简介:歌德尔的数学定理,艾舍尔的画,巴赫的音乐,这三者之间到底存在怎样奇妙的联系? 作者候世达(hofstadter)作为罕见的跨学科研究者,站在高层次发现学科之间的联系-------递归,以精妙而通俗易懂的话语串联起多学科,展现了对艺术,逻辑学,计算机科学,认知科学的独特见解。

    【领读者介绍】
    杜旭冲,一名在欧洲的计算机专业学生,熟悉C,C++,对机械感兴趣。

    【电子书下载】
    0_1498267986276_哥德尔,埃舍尔和巴赫——集异璧之大成.pdf

    【报名方式】
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    【活动海报】
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    作者与书籍简介

    计算机科学里有一本奇书,它的作者是人工智能领域里不可忽视的人物;这本书的名字叫《哥德尔、埃舍尔、巴赫:集异璧之大成》,这个人就是侯世达。

    “侯世达”是Douglas Hofstadter的中文名,这个1997年由他的中文出版商所定的名字,如今已是他在中文世界里的通称,这个名字也确实比他的父亲、1961年诺贝尔物理学奖得主、物理学家罗伯特·霍夫施塔特(Robert Hofstadter)按照姓名音译规则对应过来的中文名要好听。不过,侯世达还有一个更私密、也更漂亮的中文名,那就是1976年他的第一位中文老师高先生为他取的“侯道仁”。

    与他的中文名字同样精彩的,是侯世达的成名作“Gödel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid”的译名——《哥德尔、埃舍尔、巴赫:集异璧之大成》。侯世达的这本书在英文世界里被简称为“GEB”——取哥德尔(Gödel)、埃舍尔(Escher)、巴赫(Bach)的首字母,而中文则以“集异璧”应对。

    由于这本书涉及到大量学科,会有我也不能讲清楚的问题,我主要介绍书的结构后,想和大家讨论几个核心问题,我也只是讨论者,不知道答案。


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    书籍结构

    本书出发点:从思辨角度,哥德尔不完备定理、埃舍尔的版画、巴赫的对位法,三者有相似之处。从哥德尔不完备定理入手,与其他领域的例子对照,看能否更深入理解人类的认知过程,为AI提供思路。

    上篇:命题演算系统(作为哥德尔不完备定理的背景)

    【一】形式系统;【二】讨论形式系统的意义;【三】递归可枚举集、递归集概念;【四】维持意义的标准:一致性、完全性;【五】递归现象;【六】意义的层级、可理解性;【七】命题演算;【八】某命题演算系统;【九】对命题演算系统编码

    下篇:计算机、大脑、人工智能(哥德尔不完备定理,及在这些领域内的讨论)

    【十】层次现象;【十一】从不同层次理解大脑;【十二】思维是可理解的;【十三】递归集在程序领域中的意义;【十四】哥德尔不完备定理;【十五】思维现象:跳出系统;【十六】思维现象:自指、重复;【十七】是否存在“银弹”;【十八】AI目前的进展;【十九】AI可能的突破点;【二十】思维现象:怪圈


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    各章概要

    【导言】
    介绍:巴赫(卡农、赋格)、埃舍尔(怪圈)、哥德尔(不完全性定理)
    数理逻辑的发展:机械化推理、集合论→罗素悖论(不包含自身的集合的集合是否包含自身、理发师悖论、第三次数学危机)→罗素、怀特海《数学原理》通过分层消除悖论→希尔伯特希望论证一致(无矛盾)+完全(真陈述可推导)→哥德尔不完全性定理(一致性和完全性无法共存)。另一时间线:巴比奇的差分机、分析机→电子计算机(综合三个领域的研究:公理化推理、机械计算、智能心理)→对人工智能的期待

    【第一章 形式系统】
    乌龟:提及芝诺悖论
    WU形式系统,用于演示:形式系统、公理、定理、推理规则、判定过程
    观点:人与机器工作方式的区别(人会观察自己在做什么,有洞察力,能够跳出系统寻找模式)

    【第二章 同构使形式产生意义】
    乌龟:将推理规则理解为公理,推理过程将无限依赖上级推理规则
    pq形式系统,用于演示:由同构产生了意义(与语言中主动的意义不同,形式系统的意义是被动赋予的,不能做出新陈述,解释也不唯一)
    观点:日常已经习惯于使用形式系统解释现实(乘法规则、证明素数无限多)

    【第三章 图形与空隙】
    乌龟:埃舍尔的镶嵌画
    例:素数形式系统(素数理解为合数的空隙)
    概念:递归可枚举(可按符号规则生成)、递归集(自身和补集都是递归可枚举)
    理论:有些形式系统的负空间不是其他形式系统的正空间(存在非递归的递归可枚举集)→有些形式系统没有用符号规则表达的判定过程

    【第四章 一致性、完全性】
    乌龟:藏头诗(演示多个层级上的相同意义)
    观点:以语言为例,意义由现实世界而来(同构产生意义)。pq形式系统修改后,需要重新解释
    几何学的历史:欧几里得《几何原理》以五条公设为基础→后继者试图证明第五条公设→放弃平行公设后,得到的非欧几何学,仍然有一致性
    概念:形式系统的外部一致(定理解释后→真陈述)、内部一致(所有经解释的定理彼此相容)、完全性(可表示的真陈述都是定理)
    观点:最低级别的被动意义=一致性;最高级别的被动意义=完全性
    如何达到完全性:1.添加新规则,增强系统能力;2.限制解释范围

    【第五章 递归】
    乌龟:在层级间跳转、对元愿望的解释
    举例:切换日常工作、计算机堆栈、巴赫《和声小迷宫》、语法(递归迁移网=RTN图)。递归定义总有一部分避免自指,所以回避了循环定义。不同于分层结构,或可称为异层结构。
    继续举例:递归图案与Fibonacci、数学函数、物理理论、费曼图
    抛出问题:怎么理解两个东西相同
    相关领域:程序设计:模块、循环、函数,下棋
    观点:复杂的递归有不可预期性

    【第六章 意义存在的位置】
    乌龟:基于同一模式,用不同音程产生不同音乐
    观点:对消息的解读,存在三层信息:框架消息(这是一条消息)、外在消息(解码机制)、内在消息(传递的意义)→框架消息、外在消息无法用语言传达→不是靠信息理解消息(会出现无穷多层次的消息),而是靠大脑本身理解消息,即,存在普适的解读机制(所以消息不只是触发器)→还原消息依赖背景信息

    【第七章 命题演算】
    乌龟:演示没有共识下,无法进行推理
    演示命题演算,命题演算系统是可判定的,可嵌入到更大的系统用于推理

    【第八章 符号数论(TNT)】
    乌龟:回文
    TNT基于五条公理(类似于皮亚诺公设)。TNT不是完全的(否则数论可以用机械方法解决),无法用有穷方法证明一致
    概念:ω不完全(全部个体是定理,但整体描述不是定理,即不支持数学归纳法)、ω不一致(全部个体是定理,且有定理称并非全部个体是定理,即存在超自然数)

    【第九章 禅宗】
    乌龟:演示定理判定、定理生成、缺少一致性
    禅宗:公案是触发器(本身不含有顿悟的信息,但可能是导致顿悟的机制)。公案的原理是使人困惑,从而摆脱逻辑(二元论、借助词语的思维),达到“无”(整体论)的方式
    WU形式系统的答案,使用数字表达WU/TNT(哥德尔密码子,编码允许自指存在,自指导致TNT不完全)

    【第十章 层次】
    乌龟:费马大定理,音乐各自独立的声部作为整体看待
    观点:对同一事物存在不同理解层次,如象棋大师比新手的理解层次更高,“智能”需要有构造高层描述的能力
    以计算机为例:二进制,指令集,汇编,高级语言,操作系统
    观点:不同层次并行存在(作为不同的理解方式),高层规则由低层而来(概念:“旁效现象”),但有独立的灵活性,所以可以独立地观察思维规律

    【第十一章 大脑和思维】
    乌龟:将蚁群理解为智慧体
    大脑构造:神经元、记忆的位置、视觉、符号/概念/原型、符号非孤立、对世界的模拟、描述性/过程性的知识

    【第十二章 心智与思维】
    观点:能“理解”意味着不同大脑的符号存在同构(例:跨语言、以地理概念类比),大脑可以理解为“合理概念”的集合,意识是大脑的一个子系统
    引用:卢卡斯《心智、机器和哥德尔》

    【第十三章 计算机语言】
    乌龟:数论(哥德巴赫猜想及变种、3n+1)、无穷(素数=无穷事实的合集)、康托尔的对角线法
    概念:原始递归(仅涉及到“可预测终止”的计算,可用BlooP计算),系统足够强(可表达全部原始递归),递归/一般递归(可用有终止FlooP计算),部分递归(只能用无终止FlooP计算)
    BlooP语言(保证能停止):对角线法论证BlooP无法表达所有函数(ℵ1>ℵ0)
    FlooP语言(图灵完备):停机问题
    丘奇-图灵论题:人能计算的=机器能计算的=FlooP能计算的

    【第十四章 TNT的不可判定命题】
    乌龟:在语言中自指
    哥德尔的证明:1.推理有效(构成证明对)可用BlooP测试,可用TNT表达,2.构造公式“G不是TNT定理”→G不可判定
    TNT为ω不完全,即,可将G理解为超自然数(类似i),产生分支数论(类似非欧几何)

    【第十五章 跳出系统】
    乌龟:无限重复的论证
    论述哥德尔不完备是无法“修补”的
    对卢卡斯“心智不能解释为机器”的反驳:1.无法论证人的能力超出了形式系统的能力,足够复杂的形式系统也一样“智能”,2.人类同程序一样,都无法“超越自身”

    【第十六章 自指、自复制】
    乌龟:递归视频
    若干种自指:句子本身自指、“引用+非引用”的句子,借助翻译/输出自指
    DNA的复制/工作机制,病毒入侵,细胞分化

    【第十七章 没有“银弹”】
    乌龟:衍奴玛拉
    观点:思维=形式系统支撑的“非形式系统”
    丘奇定理:没有方法总能区分TNT的定理与非定理;塔斯基-丘奇-图灵定理:没有方法总能区分真假数论语句。拉玛奴衍、心算家都不是反例
    丘奇-图灵论题:大脑过程可用FlooP程序模拟
    观点:如果要模仿基于现实世界的知识表示,需要从“符号触发模式”之下的层次入手,这一层可能类似于形式系统(如神经元)
    观点:“智能机器”的基础机制会逐渐收敛于人类智能的基础机制
    对意义的观点:句法级别(表面)/语义级别(内部,来自与其他符号的关联)
    关于说谎者悖论:悖论并没有否掉系统的意义,只是意味着“总能对真理做完全精确判断”的不可行

    【第十八章 AI:历史】
    AI介绍:空间AI施德鲁,图灵/图灵测试,早期对话程序,泰斯勒定理(AI=尚未做到的东西),AI的各子领域介绍
    各领域的细节:如何定义“创造力”,解决问题的过程(问题分解/规划问题空间/构造规则框架),知识表示/模块性、演绎推理/类比(不同的机制)

    【第十九章 AI:展望】
    乌龟:语言矛盾、虚拟
    关于想象力的观点:存在多层的稳定性,用于维持知识的“框架”
    邦加德《模式识别》的启发:识别的过程:潜意识选择词汇表(基础性质),尝试性进行高层描述,比较两组的描述,重新构造描述(添加信息、去掉信息、从另外角度看),直到发现能区分两组的条件。“寻找模式”机制:发现同一性会触发“重构”,重构会丢掉大量信息,减少信息与原始数据的关联。在概念网络中“游走”。使用“元描述模板”记录处理过程。进行“聚焦/过滤”
    观点:人脸/足迹/文字的识别由潜意识进行。符号存在“裂变/聚变”。实现类比(概念骨架,可作用于不同概念维度)。概念有若干用于触发的“入口”。创造性的产生(来自随机性)。对AI常见问题的回应

    【第二十章 怪圈】
    观点:大脑的软件规则自我修改,但硬件不变。处在怪圈上层时,怪圈是可解释的。解释证据/论证是大脑本身的硬件机制(否则会有类似芝诺的悖论)。哥德尔意味着自省是有限制的。对符号/对象(使用/谈论)的区分推动了现代音乐与绘画的发展。低层无法解释的概念有可能在高层轻松解释。关于自由意志:可以理解为低层是机械的,而高层具有“意识”。

    形象的例子:埃舍尔《画廊》、谢泼特音阶(Shepard tone)


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    主要观点

    接下来,我会来讲讲集异壁的主要观点。

    这本书是一本逻辑自洽的书,并不需要太多前提知识储备,需要的是作者进行逻辑思考。这不是一本太学术的著作,属于科普和睡前娱乐读物,别看书有1000多页,大部分内容是一个话唠对于逻辑的重要观点的反复讨论。

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    音乐的形式之美

    赋格 (fugue) 是复音音乐的一种固定的创作形式,它的主要结构是:首先在一个声部上,出现一个主题片段(Subject),然后在其他的声部上模仿这个片段(Subject)。演奏主题的声部与新的声部相对应的乐句,形成相互问答追逐的效果。
    巴赫是当之无愧的赋格大师,「音乐的奉献」是巴赫在这方面最高成就的作品之一。它本身就是一部大型的、高度理智化的赋格,许多概念和形式彼此交织。要想理解有多个声部的赋格是多么耸人听闻,可以把即兴创作六个声部的赋格比作同时下六十盘盲棋,而且全部要下赢。

    卡农可以看做是更严格单一的“赋格”,由一个单一主题与它自己相伴而奏,主题和副本之间构成和声。更复杂的卡农,在音高和速度上相互交错,还有主题转位,每当原来的主题跳上时,它就跳下,两者所越过的半音数目相同。最玄奥的是逆行 —— 主题依一定时间从后往前奏出。使用了这种技巧的卡农,俗称为“螃蟹卡农”。

    赋格和卡农中的“规律”,即是数学中的“同构”。同构是保存信息的变换。两个复杂结构可以相互映射,并且每一个结构的每一部分在另一个结构中都有一个相应的部分。

    在这里,音乐与形式合而为一了。规律产生韵律,音乐即形式,形式即音乐。

    “有序” 在巴赫的赋格中体现得淋漓尽致。但“有序”是终极追求吗?美与和谐来自有序吗?智能是将无序变为有序吗?

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    荷兰版画家艾舍尔的许多作品,都源于悖论、幻觉或双重意义,让人着迷。

    提到悖论,本书的另一个主角哥德尔出场了。

    悖论有一个共同的祸根,就是自指,或称“怪圈”。企图从逻辑学中导出所有的数学,而且一定不能有矛盾,这是很多数学家的理想。但是 1931 年哥德尔发表的论文揭示出,没有一个公理系统可以产生所有的数论真理,除非它是一个不一致的系统。

    哥德尔不完全定理:数论的所有一致的公理化形式系统都包含有不可判定的命题。
    也就是说:没有什么是完备的。一个人不能抓着自己的头发把自己提起来,上帝也不能制造上帝自己。

    悖论是一种死循环,而循环的无限性又让人捉摸不透、欲罢不能。

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    悖论与禅宗

    佛教禅宗的基本教条之一是:没有任何办法能刻划禅宗是什么。悖论是禅宗的一大特点。

    人的心智处于困惑状态时,就会在某种程度上不合逻辑的运转。禅宗认为,只有跨出逻辑,摆脱理论,人才能跃入顿悟境地。

    词语把我们引向某些真理 (可能同时也引向某些虚假) —— 但肯定不能引向所有真理。如果依赖词语走向真理,就如同依赖一个不完全的形式系统而走向真理。无论一个形式系统多么强有力,都不可能给出所有真理。

    数学家们的困窘在于:除了形式系统,还有什么可以依靠?
    而禅宗信徒的困窘则是:除了词语,还有什么可以依靠?

    禅宗采纳整体论,认为整个世界根本就不能被划分为一个个事物。划分世界就会误入歧途,就不能达到顿悟。顿悟状态意味着自我和宇宙之间的分界消解。这将是二元论的真正终结。

    禅宗哲学似乎体现了这样一个观念:通向终极真理之路,会是充斥悖论的。
    摒弃感知,摒弃逻辑、词语、二元化的思维。这就是禅宗的实质,主义的实质。这即是“无”方式——非智能,非机械,就是“无”。
    禅宗并没有给出答案,而是明白最终没有答案
    对有序的追寻,最终落脚到无序。探寻之旅越发的有意思了。

    信号,意义,模式

    我们到底怎样认出一个信号的存在?
    任何消息是否本质上具有足够的内在逻辑?是人把意义赋予了材料,还是意义本来就在那里?作者认为,意义在多大程度上以可以预测的方式作用于智能,它就在此程度上是对象的一部分。

    任何消息都分三层:框架消息,外在消息,内在消息。在使用任何规则之前,必须有另一个规则来告诉你如何使用这一规则;即,存在一个具有无穷多层次的规则体系,这就组织了任何规则的使用。但是大脑对消息的解码能力反驳了这一理论。

    若智能是自然的,则意义是固有的
    智能喜爱模式化,厌恶随机性。
    如果我们把巴赫的音乐看成遗传型,把它想要激发出来的情感看成表现型,那么我们所感兴趣的问题是:遗传型是否包含了表现型的展现过程所需要的全部信息。若要恢复一条消息,需要在多大程度上理解它所处的环境?DNA 是否具有普遍的触发能力?在没有被置入适当的化学环境时是否仍能导出表现型?答案是否定的,但不是绝对否定。(- -)b

    递归与智能

    谁也不知道非智能行为和智能行为之间的界限在哪里。但是智能的基本能力还是确定的:
    对于情境有很灵活的反应
    充分利用机遇
    弄懂含糊不清或彼此矛盾的信息
    认识到一个情境中什么是重要的因素,什么是次要的
    在存在差异的情景之间能发现它们的相似处
    从那些由相似之处联系在一起的事物中找出差别
    用旧的概念综合出新的概念,它们用新的方法组合起来
    提出全新的观念

    程序设计中的递归枚举是个过程,其中新的东西按照一定的规则,从已有的东西中产生出来。复杂到一定程度的递归系统,其能力可能会强有力得足够打破任何事先规定下来的模式。
    这不就是使智能成为智能的性质之一吗?
    与其仅仅考虑由可以递归的调用自身的过程组成的程序,为什么不考虑得更复杂一些,设计出可以修改自身的程序——可以作用于程序本身,扩展、改进、推广、加固程序的程序?智能的核心之处大概就是这种“交织的递归”之所在。
    如何给需要智力的行为编出程序呢?这不是最最明显的自相矛盾吗?本书的一个主要论题,就是理解这个”矛盾”:
    让读者重新认识存在于形式化和非形式化的、有生命的和无生命的、灵活的和不灵活的事物之间的那些表面上看来不可逾越的鸿沟。这便是人工智能索要研究的全部。人工智能工作的奇异之处就是试图将一长串严格形式化的规则放在一起,用这些规则交给不灵活的机器如何能灵活起来。

    描述的层次

    在40年代,荷兰心理学家阿德里安·德·格鲁特就研究了下棋时新手和大师是怎样感知一个棋局的。大师们以“组块”来感知棋子分布。大师在超前搜索时很少比新手走的更远,他们感知棋局的方式像一个过滤器:在观察局势时已经建立了更高层次的组织,坏棋一般不会被想出来。智能紧密的依赖于为复杂对象——如棋盘、电视屏幕、书页或画面——构造高层描述的能力。

    人工智能研究中的一个重大问题,就是要指出如何跨越层次的鸿沟,即如何构造一个系统,使它可以接收一个层次上的描述,然后从中生成另一个层次上的描述。
    计算机系统在最高层的描述,极大程度地组块化了。比如,汇编语言的设计思想,是要把各个机器语言的指令“组块化”,当要用一条指令把一个数加到另一个数之上时,不必写“010111000”,而只写 ADD 就行。

    不同层次的知识以“组块化”的形式呈现。但是组块化模型可能有个很大的缺点:它通常不具有精确的预测力。一个组块化模型是定义了一个“空间”,并预期着行为会落入其中,而且描述了行为落在该空间的不同区域的概率。

    真正造成混乱的是,同一个系统允许两种以上不同层次的描述,而这些描述在某些方面又是彼此相似的。我们进行自我认识时会遇到混乱,因为我们由许多层次构成,同时我们用重叠的语言在所有这些层次上描述我们自己。

    意识到自己的思想,这难道不是意识的本质吗?当你意识到自己的思想时,难道不是直接在符号层次上读你的大脑吗?意识系统只是在符号层次上感觉到自己,对更低的层次,如信号层次,则毫无意识。

    于是人工智能的进展即语言的进展。

    大脑,心智和思维

    大脑中大约有一百亿个神经元。每个神经元具有若干突触(输入端口)和一个轴突(输出通道)。输入和输出均为电化学流,即移动的离子。一个神经元每秒可“发射”千次决定——就是沿其轴突释放离子,这些离子最终将穿入一个或多个其他神经元的输入端口,致使它们作出同类决定—— 如果所有输入的总和超过了一个确定的阈值则发射;否则不发射。

    关于智能一个可能的猜测是:存在着由许多神经元构成的大尺度结构,它们在一个较高的层次上处理概念。但不同概念并不对应一个固定的神经元群。

    低层次的神经发射通讯,是如何导致高层次的符号激活通讯的?如果可以自足地解释高层次的符号激活通讯——建立一个不涉及低层神经事件的理论,那么智能就可能实现于不同于大脑的其他硬件上,而这是 AI 研究的基础中一个关键假设。那表明智能是一种可以从它所在的硬件中“抽取”出来的性质——换句话说,智能将是一种软件性质。

    一个想法若充分经常地在一个人的大脑中重现,它就会逐渐地组块化而形成一个单独的概念。那些一次又一次被人们采纳的通道组成了知识。大脑状态本身不具有说明哪条线路将被采纳的信息。外界环境在决定路线的选择时扮演着极为重要的角色。

    关于意识的一种解释:意识是系统的一种性质,每当系统中有服从触发模式的符号时,这种性质就会出现。

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    作者侯世达

    最后,我想引用侯世达老爷爷被采访的记录,来展示一下他对人工智能更新的认识
    侯世达想用这些思考回答,什么是思考?也就相当于找到——什么是人工智能?

    在侯世达看来,战胜卡斯帕罗夫的深蓝不过拥有庞大的运算能力,能在极短的时间内完成几万种可能的排布计算。而卡斯帕罗夫只能、也只用想几十种就可以与之拼得不相上下。尽管最后深蓝赢得了这场「人机战争」,可这又有什么意义呢?既不能了解卡斯帕罗夫是如何谋划和整理棋局,也无法了解我们是怎么下棋的。

    人工智能的任何一个分支领域如果不尝试去回答这些问题,在侯世达看来都是走入了误区。「对于我这样一个刚刚起步的人工智能研究者而言,显然应该远离这种旁门左道。人们会把一些看起来很厉害的程序当作人工智能,但我知道它们和智能一点关系都没有,我完全不想和这种研究扯上关系。而且我也不理解为什么那么多人不这么想。」
    在过去的 30 年中,侯世达和他的学生都待在印第安纳大学西北边的一个老房子里,试着补上这个缺口:通过编写可以自己思考的程序来探索人类思考的方式。

    它们的假设非常简单:大脑是一个非同寻常的软件,要明白这个软件如何运行,最好的办法是亲自写一遍。计算机非常灵活,足以模拟大脑奇怪复杂的思维,但只听命于精确指示。如果它们的努力有所回报,简直是一石二鸟:我们终于可以明白自己的思维机制——也可以制造懂得思考的机器。

    曾经有两年时间侯世达都在编写「Jumbo」,一个用来完成报纸上填字游戏的软件。四分钟就足够写出一个能产生同样作用的软件:罗列字母尝试他们的排列组合,直到出现字典中的单词为止。

    侯世达的兴趣当然不是填字游戏,他感兴趣的是大脑在这个过程中是如何运作的。他观察自己的思维,「字母在我的脑海里打转……它们在努力自己做些什么。」Jumbo 的模型结构其实是模仿生物细胞内部的活动,独特之处在于其流动性。

    侯世达定律:做事所花费的时间总是比你预期的要长,即使你的预期中考虑了侯世达定律。
    ——侯世达,于《哥德尔、埃舍尔、巴赫》


 

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